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1.低正确率的送分题
2.注意「年份数字之和」的特殊规律
3.一个月内「求周期」尽量直接数
4.最小公倍数的特点
5.元素较少就要逐个列出
6.简明的逐个代入法
7.人数不可分，要「向上取整」
8.繁琐的计算导致正确率变低
9.相似三角形的特点
10.通过选项思考暴力破解的可能性
11.通过特殊值快速解出坐标题
12.遇到工程题不要急着去「设1」
13.把握未知项之间的关键联系
14.高难度的空间想象题
15.投影定理与球体的特性
国考「数量关系」难题（正确率≤60%）解析。
一、低正确率的送分题
面包房购买一包售价为15元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成浓度为20%的糖水12千克，然后将剩余的白糖全部加入后溶解，糖水浓度变为25%。
购买白糖花了多少钱？
（A）45
（B）48
（C）36
（D）42
购买白糖花了多少钱？
（A）45
（B）48
（C）36
（D）42
正确率58%，易错项A
列出题干数据关系：
①白糖15元/kg
②配20%糖水12kg
③加入所有白糖，浓度变为25%
④求购买白糖花费
本题使用简单的一元一次方程即可解出。
根据②可知20%糖水含糖：
12×20%=2.4kg
设25%糖水中加入的糖设为xkg，则：
（2.4+x）/（12+x）=25%
→9.6+4x=12+x
→3x=2.4，x=0.8
购买白糖总量为：
2.4+0.8=3.2kg
根据①可知总价格为：
15×3.2=48元
需要注意白糖的重量要算入溶液的重量中。这道题理论上是送分题，但一个小陷阱就让很多考生做错。
二、注意「年份数字之和」的特殊规律
某人出生于20世纪70年代，某年他发现从当年起连续10年自己的年龄与当年年份数字之和相等（出生当年算0岁）。
此人在以下哪一年时，年龄为9的整数倍？
（A）年
（B）年
（C）年
（D）年
此人在以下哪一年时，年龄为9的整数倍？
（A）年
（B）年
（C）年
（D）年
正确率56%，易错项C
列出题干数据关系：
①出生于X年
②某年起连续10年年龄=年份数字之和
③求选项哪年年龄是9的整数倍
本题要从「某年起连续10年年龄=年份数字之和」入手。根据①可知，0年代生人至今的年份数字之和可分为两种情况讨论，即：
年前：1+9+后两位
年后：2+0+后两位
按此人最晚9年生算，年时他也至少21岁，四位数之和太小，不可能满足条件，因此「某年」一定在年前。
根据②可知，如果「连续10年」跨年代，则必定出现以下情况：
十位数+1（9→，→）
十位数-9且个位数直接-9（→由9→0
很明显两者均不符合题意，因此这只可能是「19X0-19X9」年，在仅个位数变动的情况下才能发生。共有两种可能：
「-」年：
年1+9+8=18，-18=（也可以算年的数据，结果同样为），不符合「0年代生」的描述，排除。
「-」年：
年1+9+9=19，-19=1（也可以算年的数据，结果相同）
很明显C选项「年」符合要求，此时此人为-1=36岁，是9的整数倍。
本题解题关键就是「某年他发现从当年起连续10年自己的年龄与当年年份数字之和相等」，可以快速得出这描述的是「-」或「-」两个阶段，代入排除「-」即可。
涉及年龄数字计算的题目，十有八九和年代（世纪）改变有关。
三、一个月内「求周期」尽量直接数
为维护办公环境，某办公室四人在工作日轮流打扫卫生，每周一打扫卫生的人给植物浇水。7月5日周五轮到小玲打扫卫生。
下一次小玲给植物浇水在哪天？
（A）7月15日
（B）7月22日
（C）7月29日
（D）8月5日
下一次小玲给植物浇水在哪天？
（A）7月15日
（B）7月22日
（C）7月29日
（D）8月5日
正确率56%，易错项B
列出题干数据关系：
①4人轮流打扫，周一浇水
②7月5日周五小玲打扫，求下一次浇水时间
本题非常简单，一眼可发现选项中离7月5日最远的是8月5日，只有一个月，在这么短的时间内，根据②的描述直接逐个列出小玲打扫时间即可。
已知「周末2天不浇水，办公室3人各占1天」，可得小玲的打扫时间为：
7月5日周五，8、9、10另3人值班
→7月11日周四，12、15、16另3人值班
→7月17日周三，18、19、22另3人值班
→7月23日周二，23、24、25另3人值班
→7月29日周一（C选项正确）。
本题虽然是周期问题，但由于周期非常短，没有必要找出规律，采取直接列出的方法是最合适的。
如果使用公式，则可知这是一个4日周期，每周7日减去工作日是5日，小玲从第一个周期的第5日开始：
∵小玲每周打扫日期提前一天，
∴第4周在周一打扫（即经过了3个5日周期到第4周周一），
∴7月5日之后即为周末，加上4个周末2天，总共隔了（5×3）+（2×4）=23日，即从7月5日+23+1（隔了23日，要再加1日）=7月29日，C正确。
可发现看出这种方法耗时较长，不推荐。一定要具体问题具体分析，不要死板套用公式。
四、最小公倍数的特点
某超市购入每瓶毫升和毫升两种规格的沐浴露各若干箱，毫升沐浴露每箱20瓶，毫升沐浴露每箱12瓶，定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货物卖完后，发现两种规格沐浴露销售收入相同。
这批沐浴露中，毫升的最少有几箱？
（A）3
（B）8
（C）10
（D）15
这批沐浴露中，毫升的最少有几箱？
（A）3
（B）8
（C）10
（D）15
正确率51%，易错项B
列出题干数据关系：
①mL、mL两种规格
②mL1箱20瓶，14元/瓶；mL1箱12瓶，25元/瓶
③两种规格收入相同，求mL最少几箱
根据②可知：
mL规格每箱20×14=元，
mL规格每箱25×12=元。
要求在销售收入相同的条件下，mL规格最少，在未给出其他限制条件的前提下，一定是求销售额的「最小公倍数」。
总销售额的最小公倍数为：
（，）
→（28，30）×10
→（14,15）×2×10
→14×15×2×10=4元
mL规格最小销售箱数为：
4÷=15，D选项正确
本题的解题关键是「两种产品销售收入相同」。在每箱价格不同的情况下，销售收入相同的最小值和最小公倍数有关，理解了这一点就很容易解题了。对于此类题目，一定要先理清题意，确定其属于极限类还是最小公约/公倍数类
五、元素较少就要逐个列出
某次知识竞猜试卷包括3道每题10分的甲类题，2道每题20分的乙类题以及1道30分的丙类题。参赛者赵某随机选择其中的部分试题作答并全部答对，最终得分为70分。
赵某未选择丙类题的概率为多少？
（A）1/3
（B）1/5
（C）1/7
（D）1/8
赵某未选择丙类题的概率为多少？
（A）1/3
（B）1/5
（C）1/7
（D）1/8
正确率17%，易错项B
列出题干数据关系：
①甲10分，3道
②乙20分，2道
③丙30分，1道
④全答对共70分，求未选择丙的概率
本题属于多种组合下的概率题，难度较高，解题关键是理解得分的具体情况。
根据①②③的描述和④的限制，可列出得分公式：
（10×甲）+（20×乙）+（30×丙）=70。
其中甲乙丙都为整数且甲≤3，乙≤2，丙≤1。那么可能的情况只有三类：
（1）甲=0，乙=2，丙=1
只有1种情况：甲未选，乙2题必选，丙1题必选。
（2）甲=2，乙=1，丙=1
甲=2有3种情况：C（3，2）=3
乙=1有2种情况：C（2，1）=2
丙=1只有1种情况：1题必选
总共有3×2×1=6种情况。
（3）甲=3，乙=2，丙=0
只有1种情况：甲3题必选，乙2题必选，丙不选。
因此赵某总共有1+6+1=8种情况，未选择丙的情况只有（3）中的一种，即丙未选的概率是1/8，D正确。
千万不要盲目套用和排列、组合、概率有关的公式，因为本题总共只有8种情况。只要逐个列出所有的可能，这道题就很容易做出来。
六、简明的逐个代入法
某人租下一店面准备卖服装，房租每月1万元，重新装修花费10万元。从租下店面到开始营业花费3个月时间。开始营业后第一个月，扣除所有费用后的纯利润为3万元。
如每月纯利润比上月增加元而成本不变，问该店在租下店面后第几个月收回投资？
（A）7
（B）8
（C）9
（D）10
如每月纯利润比上月增加元而成本不变，问该店在租下店面后第几个月收回投资？
（A）7
（B）8
（C）9
（D）10
正确率36%，易错项B
列出题干数据关系：
①房租1万/月，装修10万
②3个月后营业
③营业后纯利润3万，随后每月+
根据①②可知，总成本为：
1万×3+10万=13万
根据③直接列出、公式：
13≤3+3.2+3.4+3.6……（单位：万元）
其中，左边为总支出，右边为总收入，「3」为第4个月，「3.2」为第5个月，以此类推。
可知在第4个数3.6，也就是第7个月的时候，后面的总收入达到了13.2，超过总支出收回了投资，A选项正确。
需要注意「开始营业后」就要「扣除所有费用」，房租当然也包括在费用中。
在考试中，推荐在选项不是很大（如本题最大的D选项只有10）的前提下，采取逐个带入这种超级简明的解题方法，可以最大限度的提高解题速度。本题涉及条件较多，需要计算的步骤较长，难度较高。
七、人数不可分，要「向上取整」
某抗洪指挥部的所有人员中，有2/3的人在前线指挥抢险。由于汛情紧急，又增派6人前往，此时在前线指挥抢险的人数占总人数的75%。
如该抗洪指挥部需要保留至少10%的人员在应急指挥中心，那么最多还能再派多少人去前线？
（A）8
（B）9
（C）10
（D）11
如该抗洪指挥部需要保留至少10%的人员在应急指挥中心，那么最多还能再派多少人去前线？
（A）8
（B）9
（C）10
（D）11
正确率39%，易错项B
列出题干数据关系：
①2/3人在前线
②增派6人，变为75%
③至少保留10%在中心，求最多再增派多少人
本题为送分题，用一元一次方程即可轻松解出。设总人数为x，根据①②可知：
2/3x+6=75%x
→（75%-2/3）x=6
→x=6÷（9/12-8/12）
→x=6÷1/12=72
10%的总人数就是7.2人，由于人数必须为整数，所以向上取整为8人，最多再派出：
72-8-（72×75%）
=64-54=10人，C选项正确。
本题部分考生误选B，主要原因是没有注意到人数不可分，把「向上取整」做成了「四舍五入」。此类题一定要保证拿下分数，因为其难度很低，避开陷阱即可。
八、繁琐的计算导致正确率变低
小张需要在5个长度分别为15秒、53秒、22秒、47秒、23秒的视频片段中选取若干个，合成为一个长度在80~90秒之间的宣传视频。要求每个片段均需完整使用且最多使用一次，并且片段间没有空闲时段。
小张最多可能做出多少个不同的视频？
（A）6
（B）12
（C）18
（D）24
小张最多可能做出多少个不同的视频？
（A）6
（B）12
（C）18
（D）24
正确率50%，易错项B
列出题干数据关系：
①5片段长度为15、53、22、47、23
②合成视频长度80~90
③片段完整、无空闲、最多使用一次，求视频种类数量
由①②可知，小张需要选择几个视频片段，找出时间相加在80~90之间的组合。
把几个数从大到小排列：53、47、23、22、15，首先从最大数53开始罗列所有的可能：
53+47=＞90，排除
53+23=76,76+（最小的）15=91＞90，排除
53+22+15=90，符合情况
然后从47开始数：
47+23=70,70+22=92＞90，排除
47+23+15=85，符合情况
47+22+15=84，符合情况
可以看出，符合情况的共三类，分别为：
53+22+15=90
47+23+15=85
47+22+15=84
根据③可知，每个视频片段放在不同的位置都是不同的视频，即本题适用排列公式（A），不适用组合公式（C），可得视频数为：
A（3，3）+A（3，3）+A（3，3）
=6+6+6=18个，C选项正确。
此类计算量大的题目一定要有耐心才能解得正确答案，需要注意本题适用于排列公式。虽然这道题的计算略不是很大，但计算较为繁琐，因此正确率不高。
九、相似三角形的特点
一块种植花卉的矩形土地如下图所示：AD边长是AB的2倍，E是CD的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。
种植白花的面积占矩形土地面积的比例为（）
（A）3/4
（B）2/3
（C）7/12
（D）1/2
种植白花的面积占矩形土地面积的比例为（）
（A）3/4
（B）2/3
（C）7/12
（D）1/2
正确率56%，易错项B
本题最简洁的解题思路是赋值。给DE赋值后，便可以很快求出⊿BEC的面积为与矩形土地的面积，得出解题重点为求⊿ABO的面积。
在已知⊿ABO和⊿DEO相似的情况下，通过AB：DE的长度为2:1，得出以AB和DE为底边，以O向两者做垂线段的长度为高也具有2:1的对应关系，根据矩形边长即可得出O点到AB的长度，从而算出⊿ABO的面积。
设DE和EC长度为1，则：
DC=AB=2，AD=BC=4。
种植白花的为甲和戊，即⊿ABO和⊿BEC，可得：
⊿BEC=1×4÷2=2，矩形=4×2=8
所占比例=（⊿BEC+⊿ABO）/矩形
=（2+⊿ABO）/8
⊿ABO和⊿DEO中，由于BD为矩形ABCD的对角线，可得∠ABO=∠ODE，同时∠AOB=∠DOE，
→⊿ABO和⊿DEO三个角角度相等，两个三角形相似
已知AB：DE=2:1，相似三角形三边比例相同，即：
由O点到AB和到DE两点的垂线（即三角形的高）之比也是2:1
由于两者之和=矩形的边长=4，且O点到AB的垂线长度占3份中的2份，可得：
⊿ABO的高=4×2/3=8/3
→⊿ABO的面积为2×8/3÷2=8/3，
→甲和戊之和为2+8/3=14/3
所占比例=（2+8/3）/8=14/3÷8=7/12，C选项正确。
本题主要考察了「相似三角形」这个考点。相似三角形是三角分别相等，三边成比例的两个三角形，即本题中的⊿ABO和⊿DEO，通过比例关系可算出对应的面积。如果没有掌握相似三角形的原理，那么这道题基本没有办法解出。
十、通过选项思考暴力破解的可能性
某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配1人。
5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率为（）
（A）低于20%
（B）在20%~30%之间
（C）在30%~35%之间
（D）大于35%
5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率为（）
（A）低于20%
（B）在20%~30%之间
（C）在30%~35%之间
（D）大于35%
正确率15%，易错项B
列出题干数据关系：
①5公司分别派1人
②重新分配，每公司分配1人
③求有且仅有1人返回原公司的概率
列出计算公式：
有且仅有1人返回原公司的概率=有且仅有1人返回原公司的情况/全部分配情况
根据②可知，5个人分到不同的公司属于不同的分配情况，符合排列公式（A），即：
全部分配情况=A（5，5）=
本题的难点是「只有1人返回原公司的分配情况」。设5家公司为ABCDE，5名员工也为ABCDE，字母一一对应。以员工A为例，该描述可以分解为两句话：
（1）员工A返回了A公司；
（2）其他4名员工没有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……
分析之后可得出，（2）是个典型的4个元素的错位排列问题，即D4=9。
错位排列公式：D3=2，D4=9，D5=44，D6=，更复杂的一般不会去考察。
BCDE员工返回原公司的概率和A员工相同，共有9×5=45种分配情况。因此，所求概率为：
45/=37.5%＞35%，D选项正确。
那么问题就来了：如果考生不熟悉错位排列的公式，或者不熟悉错位排列的适用场景，应该怎么办呢？
这就是国考的精髓之处。相对于排列组合公式，错位排列是一个较为冷门的考点，但本题并不要求考生一定要掌握，其解题奥秘，就在原文中。
通过分析我们不难看出，全部的分配情况为A（5，5）=，而ABCDE公司的ABCDE员工没有特殊要求，因此：
=5×「员工A返回A公司，其他4名员工没有回到自己的公司」的分配情况（即员工A返回A公司这一情况没有特殊性，BCDE公司和员工也符合）
可知「员工A返回A公司，其他4名员工没有回到自己的公司」的分配情况=24
观察选项可知，本题数值最大选项D也只有35%，而24的35%约比8大一点（35%比33.33%大一点，24×33.33%=8），即：
「最多只需要数出9种情况就能得到正确答案」
也就是说，本题可以暴力破解，一个个数所有的分配可能即可，不会浪费太多时间。
那么，以上文说的那个情况为例：A员工返回了A公司，其他4名员工没有回到自己的公司，即B可以去CDE不能去B,C可以去BDE不能去C……
在这种情况下，以员工B去C公司为例，C只能去BDE。如果C去B，那么D只能去E，E只能去D；如果C去D，那么D只能去E，E只能去B；如果C去E，那么D只能去B，E只能去D。也就是说，B去C的前提下，只有3种情形。同样，B去D、E也是各有3种情形，也就是共有9种。
以B去C，C去B为例简单列图就能明白这个关系了（红箭头代表B去C，蓝箭头代表其他所有可能）。
可能性一：
可能性二：
可能性三：
虽然上述内容文字描述看上去很复杂，但在草稿纸上列表就是半分钟的事情。这种解法也可得出正确答案。
之所以把这个「不知道、不会用错位排列」的解题方法写了这么多，是因为要给各位小伙伴提供另一种一个思考角度，通过选项思考暴力破解的可能性。本题正确率只有15%，如果做对就战胜了绝大多数考生，因此千万不要轻言放弃。
十一、通过特殊值快速解出坐标题
一正三角形小路如下图所示：
甲、乙两人同时从A点出发，朝不同方向沿小路散步，已知甲的速度是乙的2倍。问以下哪个坐标图能准确描述两人之间的直线距离与时间的关系（横轴为时间，纵轴为直线距离）？
正确答案为：
（A）答案A
（B）答案B
（C）答案C
（D）答案D
正确率38%，易错项B
已知「等边三角形」和「甲的速度是乙的两倍」，由于等边三角形边长相同，因此：
甲走了两条边的距离时，乙走了一条边，两人同时到达右边的顶点。
可设该三角形边长为4，乙速度为1，甲速度为2，甲向斜上方的B点出发，乙向右方的C点出发，实心和空心点分别为甲和乙的位置，取甲走到另外两个顶点，以及两个边的中点这四个点时的位置，得下图（黑点为甲，白点为乙）：
其中，甲在AB中点、B点、BC中点、C点4个点时走的距离分别为2、4、6、8；乙对应的到达了AC中点的中点、AC中点、AC中点的中点和C点4个点，走的距离分别为1、2、3、4。根据勾股定理简单算出两者的距离：
时间=0，甲乙距离为0
时间=1，甲乙距离为√3
时间=2，甲乙距离为2√3
时间=3，甲乙距离为√3
时间=4，甲乙距离为0
由此可看出，每1个时间甲乙距离变化1个√3，且先上升到2√3再下降到0，所以这是一个简单的线性关系，在时间——直线距离坐标轴上，应当呈先上升的直线，然后呈下降的直线，且起始点和最低点为0，D选项正确。
所有坐标题都推荐通过找特殊点然后看对应关系的方式去解题。公考的数量关系题不是高等数学，没有必要去深究坐标图背后的定理，只要找出正确答案即可。一定要根据描述来赋值代入，寻找规律。
十二、遇到工程题不要急着去「设1」
某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做朵。
这批花有多少朵？
（A）
（B）
（C）
（D）1
这批花有多少朵？
（A）
（B）
（C）
（D）1
正确率44%，易错项C
列出题干数据关系：
①甲10小时、乙15小时可做完
②一起做，乙休息1小时40分，完成时甲比乙多朵
③求这批花多少朵
一般来说工程类题目通用的方法为「设1」，而本题也可根据条件①进行最直观的赋值。
解法一：最直观赋值
根据①可直接赋值：
甲组每小时制作15朵
乙组每小时制作10朵
则这批花有15×10=朵
甲乙合作每小时能做出15+10=25朵。
根据②可知，乙组休息5/3小时（即1小时40分）期间，甲组工作量为：
15×5/3=25朵
随后两组合作做了：
（-25）÷25=5小时。
最终结果为：
甲组共做了15×5+25=朵
乙组共做了10×5=50朵
甲比乙多做了-50=50朵
也就是说，两组合作「朵」时，甲比乙多做了50朵。
而原题中甲比乙多做了朵，因此按比例关系，这批花共有×（÷50）=×6=朵，B选项正确。
解法二：设「1」法
设「1」法，是此类题目比较标准、通用的解法。
设总工作量为1，那么甲组每小时工作量为1/10，乙组为1/15。
两组一起工作前：甲组做了1/10×5/3=1/6工作量还剩：1-1/6=5/6
甲乙两组一小时工作量为：
1/10+1/15=1/6
甲乙一共工作时间为：
5/6÷1/6=5小时
因此，甲比乙多的工作量为：
1/6+（1/10-1/15）×5=1/3=朵
即总工作量=÷1/3=朵，B选项正确。
本题两种方法都是可以的，方法一较为快捷实用，方法二更加严密准确。
对此类题比较熟悉的考生推荐尽量使用方法一的解法，因为看到「10小时」和「15小时」工作完成的条件，可以马上想起在总数朵的前提下，甲乙组每小时分别做出15、10朵。在总数朵基础上快速算出甲比乙多做50朵，按照比例求出×（÷50）=。
能凭直接快速接近正确答案，就不要盲目地在遇到「工程量」就去「设1」。
本题有「1小时40分」这种不太整的数，计算起来比较麻烦，因此设值非常重要。
十三、把握未知项之间的关键联系
工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起加工，则需要5天整。
如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工，最多需要多少天完成？
（A）11
（B）13
（C）15
（D）30
如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工，最多需要多少天完成？
（A）11
（B）13
（C）15
（D）30
正确率50%，易错项B
本题没有给出任何具体的量，且涉及未知数据太多，有一定难度。
由于是求「工程量」的题，因此可以先设总工作量为1，5条生产线为ABCDE，生产效率由低到高，列出题干数据关系：
①A+B+C=1/12
②C+D+E=1/6
③A+B+C+D+E=1/5
所有生产线的产能都扩大一倍→生产线的产能变为2A、2B、2C、2D、2E。
任选2条生产线一起加工，最多需要多少天完成→产能最低的2条线完成时间，即（2A+2B）×天数=1，求天数的值。
也就是说只要知道A+B的值，用1÷（2A+2B）即可求得结果。根据②③的生产线关系可得：
A+B=(A+B+C+D+E)-(C+D+E)=1/5-1/6=1/30，
最多需要天数为：
1÷2（A+B）=1÷1/15=15，C选项正确。
对于未知项较多的题目一定要先列出所有题干给出所有的条件，再寻找其中的关键关系。例如本题不需要知道ABCDE的具体工作效率，只要知道A+B=1/30就可以了。
本题有的公考机构用「秒杀法」直接这样分析：
6（C+D+E）=5（A+B+C+D+E），解得（C+D+E）=5（A+B），即（C+D+E）要用6天时间，（A+B）要用30天，效率提高一倍，只需要15天。
这种解题思路显然是没有道理的。试问在没列出各生产线关系之前，这个人是怎么直接判定条件①A+B+C=1/12没有用的？另外，6（C+D+E）=5（A+B+C+D+E）这个关系和题干思路相比，写的是简洁了，但实际做起来反而更不好想，这么思考一定会额外增加大脑的负担。简单来说，这个「秒杀法」是根据答案写一个最简洁的过程，但是在不知道答案之前，考生并不能确认这个过程是正确的，所以这种方法是不实用的。如果题目中有多个未知项，一定要准确把握未知项之间的关键联系。
十四、高难度的空间想象题
将一个棱长为整数的正方体零件切掉一个角，得到的截面是面积为的三角形，其棱长最小为（）
（A）15
（B）10
（C）8
（D）6
其棱长最小为（）
（A）15
（B）10
（C）8
（D）6
正确率19%，易错项B
已知要求的是「棱长最小」，也就是说切掉的角截面三角形「面积最大」。那么，在正方体上怎么切能切出截面最大来呢？
答案是尽可能往大切，一直切到「再大就超出一个角的范畴」为止，如下图所示：
截面三角形的三个点都位于正方体的三个顶点时，面积最大。再往下切，切掉的就不只是「角」，而是「角+一部分边」了。
该三角形的三个边为正方体三个面的对角线，由正方体的特性可知三边相等。设其边长为a，根据勾股定理和三角形面积公式可得：
a×（√3/2）a÷2=√3，
→a=×4
→a=20
又由于正方体的每个面都为正方形，已知正方形对角线长为20，根据勾股定理求得正方形边长为：
10√2≈10×1.41=14.1。
已知正方体边长为整数，所以其最小值为比14.1大的最小整数15，A选项正确。
虽然本题要素极为简单，后半部分计算也不难，但错题率超过八成，其原因就是很多考生难以想象出截面三角形「面积最大」时的情形。可见，公考在数量关系题上并非以纯粹的难度拉开差距，而是对考生包括空间想象能力在内的各方面能力进行综合考察，看似简单的题也能难倒很多考生。本题难度非常高，考生需要充分发挥自己的空间想象力。
十五、投影定理与球体的特性
某次军事演习中，一架无人机停在空中对三个地面目标点进行侦察。已知三个目标点在地面上的连线构成直角三角形，两个点之间的最远距离为米。
无人机与三个点同时保持米距离时，其飞行高度为多少米？
（A）
（B）
（C）
（D）
无人机与三个点同时保持米距离时，其飞行高度为多少米？
（A）
（B）
（C）
（D）
正确率40%，易错项A
设地面3点为ABC，列出题干数据关系：
①地面ABC连线为直角三角形，∠ABC为直角
②AC之间距离为m
③空中无人机距ABC均为m，求无人机高度
由①③可知，飞机是一个点，地面是一个面，点到面上三个点的距离相同。
如果对投影知识有了解的同学，可以快速判断出该点到平面的投影距离三个点相同，设飞机投影为O点，可得：
根据「圆上任意一点到圆直径两点所成的角都是直角」的定理可知，该投影点就在以AC为直径的圆上，即：
O为AC中点。
OA=OC=÷2=m。
根据③可知和勾股定理可知，飞机到O点的投影距离（也就是飞机的高度）为：√-=m，B选项正确。
那么问题来了：忘记投影定理（毕竟该定理比较冷门）的小伙伴们要怎么办呢？有一种辅助的解法，即利用球体的特性。
还是设一个直角三角形ABC，设飞机为D，由于D点距离ABC三点相同，所以可以设一个以D为球心的球，ABC即为球上三点，形成一个截面。
飞机的高度即为D点到截面的垂直距离。由上文解析可推得ABC可以形成一个以AC为直径的圆，而球心到截面圆心的线段必然垂直于该圆，即为飞机高度。
圆的半径为÷2=m，球的半径为m，根据勾股定理可求得球心到截面圆心的线段为m，B选项正确。
本题数据看似简单，但涉及到数量关系题的「大杀器」——空间想象。空间想象题在「数量关系」中的地位和抒情散文题在「言语理解」与表达中差不多，基本上一出马就能把大半考生杀的人仰马翻，所以这种「大杀器」一般来说一次考试也不会出太多……
做题时一定要运动起自己的大脑，思索一切可能的解题方法，不要轻易放弃。